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向量高考题汇编及解析_与向量有关的高考题
tamoadmin 2024-05-14 人已围观
简介向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2.|c|=3,a与b的夹角为60,则|a+b+c|的最小值,这种题目怎么求?解:先说明一下:︱a︱=1,是指向量a的模为1,即其长度等于1;与绝对值是两个概念。设a=(1,0);b=(2cos60,2sin60)=(1,3);c=(3cost,3sint);于是a+b=(2,3);那么a+b+c=(2+3cost,3+3sint);∴︱a+b+c︱=[(2+
向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2.|c|=3,a与b的夹角为60°,则|a+b+c|的最小值,这种题目怎么求?
解:先说明一下:︱a︱=1,是指向量a的模为1,即其长度等于1;与绝对值是两个概念。
设a=(1,0);b=(2cos60°,2sin60°)=(1,√3);c=(3cost,3sint);
于是a+b=(2,√3);那么a+b+c=(2+3cost,√3+3sint);
∴︱a+b+c︱=√[(2+3cost)?+(√3+3sint)?]=√[12cost+6(√3)sint+16]
=√{12[cost+(√3/2)sint]+16}=√[12(cost+tanφsint)+16](其中tanφ=√3/2,sinφ=√(3/7),cosφ=2/√7)
=√[(12/cosφ)(costcosφ+sintsinφ)+16]=√[6(√7)cos(t-φ)+16]≧√(16-6√7)
当cos(t-φ)=-1,即t=π+φ时等号成立。此时c与a+b方向相反且在同一条直线上。φ就是和向量a+b与x轴正向的夹角。
即|a+b+c|的最小值是√(16-6√7)。
注:此类问题用坐标计算较为方便。